Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足

3

csinA=acosC
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+sinB的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理，将

3

csinA=acosC转化为

3

sinCsinA=sinAcosC，可得tanC=

3

3

，从而可得角C的大小；
（2）由（1）知A=

5π

6

-B，将cosA+sinB化为角B的关系式，利用三角恒等变换可得cosA+sinB=

3

sin（B-

π

6

），利用

π

6

＜B-

π

6

＜

π

3

即可求得其取值范围．

解答： 解析：（1）由正弦定理得

3

sinCsinA=sinAcosC，
因为0＜A＜

π

2

所以sinA＞0，从而

3

sinC=cosC，即tanC=

3

3

，又0＜C＜

π

2

，所以C=

π

6

；
（2）由（1）可知 A+B=

5π

6

，所以A=

5π

6

-B，又0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，所以

π

3

＜B＜

π

2

，cosA+sinB=cos(

5π

6

-B)+sinB=cos

5π

6

cosB+sin

5π

6

sinB+sinB=

3

sin(B-

π

6

)，
又

π

6

＜B-

π

6

＜

π

3

，
所以

3

2

＜cosA+sinB＜

3

2

，即cosA+sinB的取值范围为（

3

2

，

3

2

）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理的应用，求得C=

π

6

是关键；考查化归思想与两角差的正弦，属于中档题．