Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E为D₁C₁的中点，连结ED，EC，EB和DB．
（1）求证：平面EDB⊥平面EBC；
（2）（理）求二面角E-DB-C的正切值．
（文）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用数量积为0与向量垂直的关系及线面垂直的判定定理即可得出；
（2）（理）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角的余弦值，再利用三角函数的基本关系式即可得出．
（文）由V_C-BDE=V_E-BDC，利用等积法能求出三棱锥C-BDE的体积．

解答： （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0）．
∴

DE

=（0，1，1），

BE

=（-1，-1，1），

EC

=（0，1，-1）．

DE

•

BE

=0-1+1=0，

DE

•

EC

=0+1-1=0，
∴DE⊥BE，DE⊥EC，而BE∩EC=E．
∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面EDB，∴平面EDB⊥平面EBC．
（2）（理）解：设平面BDE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • DE =y+z=0 n • BE =-x-y+z=0

，令y=-1，则z=1，x=2．
∴

n

=（2，-1，1）．
取平面BCD的法向量

m

=（0，0，1）．
则cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
从图形上看，二面角E-DB-C的平面角为锐角，∴sin＜

n

，

m

＞=

30

6

．
∴tan＜

n

，

m

＞=

5

．
即二面角E-DB-C的正切值为

5

．
（文）解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E为D₁C₁的中点，
∴E到平面BDC的距离为h=BB₁=1，
S_△BDC=

1

2

DC•BC=

1

2

×2×1=1，
∴V_C-BDE=V_E-BDC=

1

3

×S△BDC×h=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用数量积为0与向量垂直的关系及线面垂直的判定定理证明线面垂直、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的平面角的余弦值、三角函数的基本关系式基础知识与基本技能方法，属于难题．