Question

已知点A为圆（x+1）²+y²=8的圆心，P是圆上的动点，点M在圆的半径AP上，且有点B（1，0）和BP上的点N，满足

MN

•

BP

=0，

BP

=2

BN

．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+

k2+1

（k＞0）与（Ⅰ）中所求的点M的轨迹交于不同的两点F和H，O为坐标原点，且

2

3

≤

OF

•

OH

≤

3

4

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点M的轨迹是以点A，B为焦点，半焦距c=1，半长轴a=

2

的椭圆，由此能求出点M的轨迹方程．
（Ⅱ）设F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，（k＞0），得(2k2+1)x2+4k

k2+1

x+2k2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知MN是线段BP的垂直平分线，
∴|AP|=|AM|+|MP|=|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，
∴点M的轨迹是以点A，B为焦点，半焦距c=1，
半长轴a=

2

的椭圆，半短轴b=

a2-c2

=1，
∴点M的轨迹方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，（k＞0），得(2k2+1)x2+4k

k2+1

x+2k2=0，
△=8k²＞0，x1+x2=-

4k k2+1

2k2+1

，x1x2=

2k2

2k2+1

，
∴

OF

•

OH

=x₁x₂+y₁y₂
=x1x2+(kx1+

k2+1

)(kx2+

k2+1

)
=(k2+1)x1x2+k

k2+1

(x1+x2)+  k2 +1
=(k2+1)•

2k2

2k2+1

-k•

k2+1

•

4k k2+1

2k2+1

+k²+1
=

k2+1

2k2+1

，
∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，即

1

2

≤k2≤1，
解得

2

2

≤k≤1．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．