Question

（1）已知cos（α+β）=

4

5

，cosβ=

5

13

，α，β均为锐角，求sinα的值；
（2）在锐角三角形ABC中，cosA=

4

5

，tan（A-B）=-

1

3

，求cosC的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,两角和与差的正弦函数

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）利用sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，即可求sinα的值；
（2）利用cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB，可求cosC的值．

解答： 解：（1）∵α，β均为锐角
∴0°＜α+β＜180°
∴sin（α+β）＞0，sinβ＞0
∵cos(α+β)=

4

5

，
∴sin(α+β)=

3

5

…（2分）
∵cosβ=

5

13

，∴sinβ=

12

13

…（4分）
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

3

5

•

5

13

-

4

5

•

12

13

=

15-48

65

=-

33

65

…（7分）
（2）在锐角三角形ABC中cosA=

4

5

∴sinA=

3

5

，∴tanA=

3

4

…（8分）
又tan(A-B)=-

1

3

∴

tanA-tanB

1+tanAtanB

=-

1

3

∴tanB=

13

9

…（10分）
又0＜B＜

π

2

∴sinB=

13 10

50

     cosB=

9 10

50

…（12分）
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB=-

9 10

50

•

4

5

+

3

5

•

13 10

50

=

3 10

250

…（14分）

点评：本题考查两角和与差的正弦、余弦函数，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．