Question

已知向量

e1

=（1，2），

e2

=（-3，2），向量

x

=k

e1

+

e2

，

y

=

e1

-3

e2

（1）当k为何值时，向量

x

⊥

y

；
（2）若向量

x

与

y

的夹角为钝角，求实数k的取值范围的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的运算和向量的垂直的条件，求得k的值，
（2）根据向量的夹角公式计算即可，设向量

x

与

y

的夹角为θ，则-1＜cosθ＜0．

解答： 解：（1）∵量

e1

=（1，2），

e2

=（-3，2），
∴向量

x

=k

e1

+

e2

=（k-3，2k+2），

y

=

e1

-3

e2

=（10，-4），
∵

x

⊥

y

；
∴

x

•

y

=0，
即10（k-3）-4（2k+2）=0，
解得，k=19
（2）由（1）知|

x

|=

5k2+2k+13

，|

y

|=2

29

；

x

•

y

=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38，
设向量

x

与

y

的夹角为θ，
则cosθ=

x • y

| x || y |

=

2k-38

2 29 • 5k2+2k+13

，
∵向量

x

与

y

的夹角为钝角，
∴-1＜

2k-38

2 29 • 5k2+2k+13

＜0，
解得k＜19，且x≠-

1

3

，
故实数k的取值范围的集合（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，19）

点评：本题考查了向量的加减和数量积得运算，以及向量的夹角公式，属于基础题．