Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若f（A）=4，b=1，得面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出f（x）解析式，化简后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函数的单调性确定出递增区间即可；
（2）由f（A）=4，根据f（x）解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将b，sinA及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函数f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵ω=2，∴T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由f（A）=4，得到2sin（2A+

π

6

）+3=4，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

或2A+

π

6

=

5π

6

，
解得：A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵b=1，面积为

3

2

，
∴

1

2

bcsinA=

3

2

，即c=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2=3，
则a=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．