Question

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图，
（1）求f（x）的解析式，并求单调递增区间
（2）若m（x）=f（x+

π

12

），n（x）=sinx，问是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得m（x₀），n（x₀），m（x₀）×n（x₀）按某种顺序排成等差数列，若存在，试确定x₀的个数，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，可求得A=1，

3

4

T=

13

12

π-

π

3

，利用cos（

2π

3

+φ）=0，求出φ，即可求得f（x）的解析式，并求单调递增区间；
（2）依题意，当x∈（

π

6

，

π

4

），

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cos2x＜

1

2

sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，而G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，从而可得答案．

解答： 解：（1）由图象可知A=1，

3

4

T=

13

12

π-

π

3

，
∴T=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos（2x+φ），
∵cos（

2π

3

+φ）=0，
∴φ=kπ-

π

6

（k∈Z），
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=cos（2x-

π

6

）．
由2x-

π

6

∈[2kπ-π，2kπ]，可得单调递增区间为[kπ-

5π

12

π，kπ+

π

12

]，（k∈Z）；
（2）m（x）=cos2x，
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cos2x＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的图象连续不断，
故可知函数G（x）在（

π

6

，

π

4

）内存在唯一零点x₀，
即存在唯一零点x₀∈（

π

6

，

π

4

）满足题意．

点评：本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．