Question

设函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

c

2

）=-

1

4

，且C为锐角，求sinA．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先化简函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x，然后根据正弦函数的最大值是1，最小值是-1，求出函数f（x）的最大值，进而求出它的最小正周期即可；
（Ⅱ）首先根据f（x）的解析式，f（

c

2

）=-

1

4

，求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
所以当sin2x=-1时，函数f（x）的最大值为

1+ 3

2

，
它的最小正周期为：

2π

2

=π；
（2）因为f(

c

2

)=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，
所以sinC=

3

2

，
又因为C为锐角，
所以C=

π

3

；
又因为在△ABC 中，cosB=

1

3

，
所以  sinB=

2

3

3

，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

2

3

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法，属于基础题．