Question

已知在递增的等差数列{a_n}中，a₁+a₄=8，a₂a₃=15．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的性质得：a₂+a₃=8，再由条件构造方程x²-8x+15=0求根，且a₂＜a₃，求出a₂和a₃，求出首项和公差，代入通项公式即可；
（2）利用等比数列的通项公式可求b_n-a_n，结合（1）中的a_n代入可求b_n，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求．

解答： 解：（1）由题意得，a₁+a₄=8，则a₂+a₃=8，
∵a₂a₃=15，∴a₂、a₃是方程x²-8x+15=0的两根，
∵等差数列{a_n}是递增数列，∴a₂＜a₃，
解得a₂=3，a₃=5，公差d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（2）由题意b_n-a_n=3^n-1，∴b_n=a_n+3^n-1，
T_n=S_n+（1+3+3²+…+3^n-1）=

n(1+2n-1)

2

+

1-3n

1-3

=n2+

3n-1

2

．

点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式和前n项和公式的灵活应用，分组求和求和及等比数列的求和公式等知识的简单运用．