Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，恒有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数在区间[1，e]上的单调性，利用最小值为-2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x2-3x+lnx，f(x)=2x-3+

1

x

．…（2分）
因为f'（1）=0，f（1）=-2．
所以切线方程是y=-2．…（4分）
（Ⅱ）函数f（x）=2ax-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）
当a＞0时，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

(x＞0)
令f′（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

．…（7分）
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合题意；
当

1

a

≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意…（10分）
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（10分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

当a=0时，g′(x)=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；…（11分）
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，…（12分）
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（16分）

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．