Question

设函数f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x（x∈R）．
（1）将函数写成f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的形式；
（2）在直角坐标系中，用“五点”法作出函数f（x）在一个周期内的大致图象；
（3）求f（x）的周期、最大值和最小值及当函数取最大值和最小值时相应的x的值的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：作图题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2；
（2）利用五点法作出函数y=2sin（2x+

π

4

）的图象即可；
（3）由f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，可求得f（x）的周期、最大值和最小值及当函数取最大值和最小值时相应的x的值的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2；
（2）将x、2x+

π

4

、f（x）的取值情况列表如下：

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	2	2+ 2	2	2- 2	2

作图如下：

（3）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，∴其周期T=

2π

2

=π；
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+

2

；
因此f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最小值2-

2

；
因此f（x）取得最小值的自变量x的集合是{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查五点法作函数y=2sin（2x+

π

4

）的图象，考查正弦函数的周期性与最值，属于中档题．