Question

6．如图，设ox，oy是平面内相交成θ°的两条数轴，$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$分别是与ox，oy正方向同向的单位向量，若向量$\overrightarrow{op}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，则把有序实数对（x，y）叫做向量$\overrightarrow{op}$的θ°坐标，记作$\overrightarrow{op}$（θ°）=（x，y）；当θ=90°时，称（x，y）为$\overrightarrow{op}$的正交坐标．
（1）若$\overrightarrow{op}$（45°）=（-2，2$\sqrt{2}$），求$\overrightarrow{|{op}|}$；
（2）若$\overrightarrow{oM}$的正交坐标为（2，$\sqrt{3}$），求$\overrightarrow{oM}$（60°）

Answer 1

分析 （1）由向量的 θ⁰坐标定义得$\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{{e}_{1}}+2\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为45°，由此能求出|$\overrightarrow{OP}$|．
（2）设与$\overrightarrow{{e}_{1}}$成60⁰的单位向量为$\overrightarrow{{e}_{2}}$，与$\overrightarrow{{e}_{1}}$成90⁰的单位向量为$\overrightarrow{{e}_{3}}$，则$\overrightarrow{{e}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{1}}$，且$\overrightarrow{{e}_{3}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$成30⁰角，令$\overrightarrow{{e}_{3}}$（60⁰）=（x，y），则$\overrightarrow{{e}_{3}}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$．再由$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=0，cos30°=$\overrightarrow{{e}_{2}}•\overrightarrow{{e}_{3}}$，能求出$\overrightarrow{OM}$（60°）．

解答 解：（1）由向量的 θ⁰坐标定义得$\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{{e}_{1}}+2\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$，
且$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为45°，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{OP}}^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2（-2\overrightarrow{{e}_{1}}）•（2\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）+8{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=2．
（2）设与$\overrightarrow{{e}_{1}}$成60⁰的单位向量为$\overrightarrow{{e}_{2}}$，与$\overrightarrow{{e}_{1}}$成90⁰的单位向量为$\overrightarrow{{e}_{3}}$，
则$\overrightarrow{{e}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{1}}$，且$\overrightarrow{{e}_{3}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$成30⁰角，
令$\overrightarrow{{e}_{3}}$（60⁰）=（x，y），则$\overrightarrow{{e}_{3}}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
又$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=0，cos30°=$\overrightarrow{{e}_{2}}•\overrightarrow{{e}_{3}}$，
即$\overrightarrow{{e}_{1}}$•（$x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，$\frac{\sqrt{3}}{2}=\overrightarrow{{e}_{2}}•（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}）$，
所以 $\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}y=0}\\{\frac{1}{2}x+y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$解得 x=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，y=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
则$\overrightarrow{{e}_{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$（-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$，
故$\overrightarrow{OM}$（60°）=（1，2）．

点评 本题考查θ°坐标、正交坐标、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．