Question

已知函数f（x）=x-

m

x

-2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取得最小值时，数列{a_n}满足：a₁=m+3，a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*．
试证：
①a_n＞n+2；
②

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

an+1

＜

m+1

m+4

．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

x2-2x+m

x2

，f（x）为单调函数，可得导数恒为非负或恒为非正，从而可求实数m的取值范围；
（2）m=1，可求得a₁=4，由a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*，可求得a_n+1=a_n²-na_n+1，
①用数学归纳法证明，（I）当n=1时，易证，（II）假设当n=k时，不等式成立，即a_k＞k+2，当n=k+1时，去证a_k+1＞（k+1）+2即可；
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①，可证得

1

1+ak

＜

1

1+a1

•

1

2k-1

（k≥2），从而可得

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

＜

2

1+a1

=

2

1+4

=

2

5

．

解答：解：（1）∵f′（x）=

x2-2x+m

x2

，令h（x）=x²-2x+m，△=（-2）²-4m，
当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），f（x）在定义域内不单调，
∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．
∴实数m的取值范围为[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴当m取得最小值时m=1，
∴a₁=3+m=4，
又a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1=a_n²-na_n+1①用数学归纳法证明：
①（I）当n=1时，a₁=4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假设当n=k时，不等式成立，即a_k＞k+2，那么，
a_k+1=a_k（a_k-k）+1＞（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1＞（k+1）+2，
根据（I）和（II），对于所有n≥1，有a_n≥n+2．
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①，对k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
∴1+a_k≥2（a_k-1+1），由等比数列的通项公式可得：
a_k≥2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+ak

＜

1

1+a1

•

1

2k-1

（k≥2），
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

＜

2

1+a1

=

2

1+4

=

2

5

．

点评：本题考查数列与函数的综合，通过导数考查数列的关系，突出考查数学归纳法与放缩法的综合应用，考查分析、转化与复杂的运算能力，属于难题．