练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…a2m是首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列（m≥3，m∈N*），并对任意n∈N*，均有an+2m=an成立．
    （1）当m=12时，求a2010；
    （2）若a52=
    1
    128
    ，试求m的值；
    （3）判断是否存在m，使S128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由an+24=an，知a2010=a18，a18是以
    1
    2
    为首项，以
    1
    2
    为公比的等比数列的第6项，所以a2010=
    1
    64
    ．
    （2）由
    1
    128
    =(
    1
    2
    )7    ，知m≥7，由a52=
    1
    128
    ，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
    （3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+
    m(m-1)
    2
    (-2)+
    1
    2
    (1-(
    1
    2
    )    m    )
    1-
    1
    2
    )+10+8+6    ，知S128m+3=704m-64m2+88-64(
    1
    2
    )m≥2010    ，704m-64m2≥2010-88+64(
    1
    2
    )m=1922+64(
    1
    2
    )m    ．设f（m）=704m-64m2，g(m)=1922+64(
    1
    2
    )m    ＞1922；f（m）=-64（m2-11m），f（x）max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在这样的m．
    解答：（1）an+24=an；所以a2010=a18（2分）
    a18是以
    1
    2
    为首项，以
    1
    2
    为公比的等比数列的第6项，
    所以a2010=
    1
    64
    （4分）

    （2）
    1
    128
    =(
    1
    2
    )7    ，所以m≥7（5分）
    因为a52=
    1
    128
    ，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
    （2k+1）m=45，
    当k=0时，m=45，成立．
    当k=1时，m=15，成立；
    当k=2时，m=9成立（9分）
    当k≥3时，m≤
    45
    7
    ＜7    ；
    所以m可取9、15、45（10分）

    （3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+
    m(m-1)
    2
    (-2)+
    1
    2
    (1-(
    1
    2
    )    m    )
    1-
    1
    2
    )+10+8+6    （12分）S128m+3=704m-64m2+88-64(
    1
    2
    )m≥2010
    704m-64m2≥2010-88+64(
    1
    2
    )m=1922+64(
    1
    2
    )m
    设f（m）=704m-64m2，g(m)=1922+64(
    1
    2
    )m    （14分）
    g（m）＞1922；
    f（m）=-64（m2-11m），对称轴m=
    11
    2
    ∉N*    ，
    所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
    因为1922＞1920，所以不存在这样的m（16分）
    点评：本题考查数列的不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知无穷数列{an}前n项和Sn=
    13
    an-1    ，则数列{an}的各项和为
     

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数-
    1
    2
    ，则无穷数列{an}的各项和
    2
    3
    2
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•闵行区一模）已知无穷数列{an}，首项a1=3，其前n项和为Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若数列{an}的各项和为-
    8
    3
    a    ，则a=
    -
    1
    2
    -
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•普陀区二模）已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是以10为首项，以-2为公差的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是以
    1
    2
    为首项，以
    1
    2
    为公比的等比数列（m≥3，m∈N*）；并且对一切正整数n，都有an+2m=an成立．
    （1）当m=3时，请依次写出数列{an}的前12项；
    （2）若a23=-2，试求m的值；
    （3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在m的值，使得S128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2，公差为-2的等差数列am+1，am+2，…，a2m，构成首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，其中m≥3，m∈N+，
    （l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{an}的通项公式；
    （2）若对任意的n∈N+，都有an+2m=an成立．
    ①当a27=
    1
    64
    时，求m的值；
    ②记数列{an}的前n项和为Sn．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案