Question

若实数x，y满足：3x+4y=12，则x²+y²+2x的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：首先将x²+y²+2x变形为x²+y²+2x=[（x+1）²+y²]-1，通过点（x，y）与点（-1，0）之间的距离的最小值即可确定x²+y²+2x的最小值．

解答： 解：x²+y²+2x=[（x+1）²+y²]-1，
令z=[（x+1）²+y²，
则z即为点（x，y）与点（-1，0）之间的距离的平方．
∵点（-1，0）到直线3x+4y-12=0的距离为d=

|(-1)×3-12|

5

=3，
∴zmin=32=9．
∴x²+y²+2x=[（x+1）²+y²]-1≥9-1=8．
∴x²+y²+2x的最小值是8．
故答案为：8．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离求最值等知识，属于中档题．