Question

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）=x²+2x-1，则不等式f（x）＜-1的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：常规题型,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据x∈（-∞，0）的解析式，结合函数f（x）是奇函数，求出x∈（0，+∞）的解析式，然后解不等式．

解答： 解：设x∈（0，+∞），则-x∈（-∞，0），
∴f（-x）=x²-2x-1，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-x²+2x+1；
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴f（x）=

x2+2x-1， x＜0 0 x=0 -x2+2x+1， x＞0

；
①当x＜0时，由f（x）=x²+2x-1＜-1
解得：-2＜x＜0
②当x=0时，不满足，
③当x＞0时，由f（x）=-x²+2x+1＜-1
解得：x＞1+

3

综上可知：不等式的解集为（-2，0）∪（1+

3

，+∞），
故答案为：（-2，0）∪（1+

3

，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性及解不等式，解决本题的关键是求出函数在（0，+∞）上的解析式．