Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点．设

PA

=λ₁

AF

，

PB

=λ₂

BF

，则λ₁+λ₂等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．

解答： 解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）
设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），得P点坐标（0，-4k），
∵

PA

=λ₁

AF

，
∴（x₁，y₁+4k）=λ₁（4-x₁，-y₁），
∵

PB

=λ₂

BF

，
∴（x₂，y₂+4k）=λ₂（4-x₂，-y₂）．
λ1=

x1

4-x1

，λ2=

x2

4-x2

，
直线l方程，代入椭圆

x2

25

+

y2

9

=1消去y
可得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0．
x1+x2=

200k2

9+25k2

，x1•x2=

400k2-225

9+25k2

，
∴λ₁+λ₂=

x1

4-x1

+

x2

4-x2

=

4(x1+x2)-2x1•x2

16-4(x1+x2)+x1•x2

=

4• 200k2 9+25k2 -2• 400k2-225 9+25k2

16-4• 200k2 9+25k2 + 400k2-225 9+25k2

=-

50

9

故答案为-

50

9

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．