Question

9．已知向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$满足$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$，且$\vec a$与$\vec b$的夹角等于150°，$\vec b$与$\vec c$的夹角等于120°，$|\vec c|=2$，求$|\vec a|$，$|\vec b|$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积运算性质即可得出：由$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$得：$\left\{\begin{array}{l}\vec a+\vec b=-\vec c\\ \vec b+\vec c=-\vec a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{{\vec a}^2}+{{\vec b}^2}+2\vec a•\vec b={{\vec c}^2}\\{{\vec b}^2}+{{\vec c}^2}+2\vec b•\vec c={{\vec a}^2}\end{array}\right.$．

解答 解：由$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$得：$\left\{\begin{array}{l}\vec a+\vec b=-\vec c\\ \vec b+\vec c=-\vec a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{{\vec a}^2}+{{\vec b}^2}+2\vec a•\vec b={{\vec c}^2}\\{{\vec b}^2}+{{\vec c}^2}+2\vec b•\vec c={{\vec a}^2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}|\vec a{|^2}+|\vec b{|^2}+2|\vec a||\vec b|cos{150°}=4\\|\vec b{|^2}+4+2•2•|\vec b|cos{120°}=|\vec a{|^2}\end{array}\right.$，
解之得：$|\vec a|=2\sqrt{3}$，$|\vec b|=4$．

点评 本题考查了向量数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．