Question

20．设三角形的三条边的长度分别是x，y，$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$，则最大边与最小边的夹角θ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设x＞y＞0，可得三角形的三边关系是：x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y＞0，利用余弦定理即可求得cosθ=$\frac{1}{2}$，结合角的范围，即可解得夹角θ的值．

解答 解：设x＞y＞0，
1、x＞y＞0，
xy＞y²，
0＞-xy+y²，
x²＞x²-xy+y²
x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$；
2、x＞y＞0，
x²＞xy，
x²-xy＞0，
x²-xy+y²＞y²，
$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y，
综上可得：三角形的三边关系是：x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y＞0
那么最长边与最短边的夹角就是x与y的夹角
cosθ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{x}^{2}+xy-{y}^{2}}{2xy}$=$\frac{1}{2}$，故解得：夹角θ是$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，正确判断三角形三边的大小关系是解题的关键，属于中档题．