Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，2S_n=a_n+1-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$+4a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件，将n换为n-1，两式相减，求出a₂=3，再由等比数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，运用等差数列的求和公式可得T_n，再由$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用分组求和裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，2S_n=a_n+1-1，
可得2S_n-1=a_n-1，（n≥2），
两式相减可得，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n+1-a_n，
即有a_n+1=3a_n（n≥2），
由2a₁=2S₁=a₂-1，可得a₂=3，
则a_n=a₂q^n-2=3•3^n-2=3^n-1，对n=1也成立，
则{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1；
（Ⅱ）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
则前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
可得$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；
数列{4a_n}的前n项和为4•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=2（3ⁿ-1）．
则数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$+4a_n}的前n项和为$\frac{2n}{n+1}$+2（3ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的求和方法：直接法和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．