Question

15．已知三棱锥O-ABC底面ABC的顶点在半径为$\sqrt{2}$的球O表面上，且AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得OA=OB=OC=AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=∠BOC=90°，取BC中点D，连结AD，OD，则AD⊥BC，OD⊥BC，AD=OD=1从而OD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥O-ABC的体积．

解答 解：∵三棱锥O-ABC底面ABC的顶点在半径为$\sqrt{2}$的球O表面上，且AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，
∴OA=OB=OC=AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴OC²+OB²=BC²，AB²+AC²=BC²，∴∠BAC=∠BOC=90°，
取BC中点D，连结AD，OD，则AD⊥BC，OD⊥BC，
AD=OD=$\sqrt{O{C}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，∴AD²+OD²=AO²，
∴OD⊥AD，∵BC∩AD=D，∴OD⊥平面ABC，
∴三棱锥O-ABC的体积为：
V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AC×OD$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1=\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．