Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，且△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求BC边上的中线AM的大小．

Answer 1

分析 （I）$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，利用正弦定理化为2sinBcosA-$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC，再利用和差公式即可得出．
（II）A=B=$\frac{π}{6}$，可得C=$\frac{2π}{3}$．a=b，$\frac{1}{2}{a}^{2}$sin$\frac{2π}{3}$=4$\sqrt{3}$，解得a．c=2bcos$\frac{π}{6}$．在△ABM中，由余弦定理即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，∴2sinBcosA-$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
化为：2sinBcosA=$\sqrt{3}$sin（C+A）=$\sqrt{3}$sinB，sinB≠0．
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{6}$．
（II）A=B=$\frac{π}{6}$，∴C=$\frac{2π}{3}$．
∴a=b，$\frac{1}{2}{a}^{2}$sin$\frac{2π}{3}$=4$\sqrt{3}$，解得a=4=b．
∴c=2bcos$\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$．
在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=$（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}$-2×$4\sqrt{3}×2$cos$\frac{π}{6}$=28．
∴AM=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．