Question

17．已知左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）的椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（I）求椭圆C的离心率和标准方程．
（II）圆${P_1}：{（{x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}}）^2}+{（{y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}}）^2}={r^2}（{r＞0}）$与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P₁的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求|PF₁||QF₁|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，推出a=2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F₁R：y=k（x+1），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用韦达定理，结合$|{P{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_3}+1}|$，$|{Q{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_4}+1}|$，化简|PF₁||QF₁|，通过$k≥\sqrt{3}$，求解|PF₁||QF₁|的取值范围．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：∵椭圆C过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，①
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，
∵a²=b²+c²，∴${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，②
由①②得a²=4，b²=3，a=2，c=1，
∴椭圆C的离心率$e=\frac{1}{2}$，标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）因为AB为圆P₁的直径，所以点P₁$（-\frac{{4\sqrt{3}}}{7}，\frac{{3\sqrt{3}}}{7}）$为线段AB的中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}\\{y_1}+{y_2}=\frac{{6\sqrt{3}}}{7}\end{array}\right.$，又$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{3}=1\end{array}\right.\end{array}$，
所以$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{4}+\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{3}=0$，则（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，故${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，则直线AB的方程为$y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}=x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，即$y=x+\sqrt{3}$．…（8分）
代入椭圆C的方程并整理得$7{x^2}+8\sqrt{3}x=0$，
则${x_1}=0，{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$，故直线F₁R的斜率$k∈[{\sqrt{3}，+∞}）$．
设F₁R：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则有${x_3}+{x_4}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_3}{x_4}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
又$|{P{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_3}+1}|$，$|{Q{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_4}+1}|$，
所以|PF₁||QF₁|=（1+k²）|x₃x₄+（x₃+x₄）+1|=$（1+{k^2}）\frac{9}{{3+4{k^2}}}=\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）$，
因为$k≥\sqrt{3}$，所以$\frac{9}{4}＜\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）≤\frac{12}{5}$，
即|PF₁||QF₁|的取值范围是$（{\frac{9}{4}，\frac{12}{5}}]$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力．