Question

8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，0]时，$f（x）={4^x}+\frac{3}{8}$，函数$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}|{x+1}|-\frac{1}{8}$，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（　　）

• A． （-2，-1）∪（-1，0）
• B． $（{-\frac{7}{4}，-1}）∪（{-1，-\frac{1}{4}}）$
• C． $（{-\frac{5}{4}，-1}）∪（{-1，-\frac{3}{4}}）$
• D． $（{-\frac{3}{2}，-1}）∪（{-1，-\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 根据条件和周期的定义求出f（x）的周期，由偶函数的性质和条件求出[-1，1]上的解析式，利用函数的周期性和奇偶性的关系，画出两个函数的图象，当-1＜x＜0时由${4}^{x}+\frac{3}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}$，结合选项求出方程的根，由图象和对称性求出不等式的解集．

解答 解：由题意知，f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数．
若x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∵当x∈[-1，0]时，$f（x）={4}^{x}+\frac{3}{8}$，
∴当x∈[0，1]时，$f（-x）={4}^{-x}+\frac{3}{8}$，
∵f（x）是偶函数，∴f（x）=$f（-x）={4}^{-x}+\frac{3}{8}$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}+\frac{3}{8}，x∈[-1，0]}\\{{4}^{-x}+\frac{3}{8}，x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
∵函数$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}|x+1|-\frac{1}{8}$，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}，x＞-1}\\{g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x-1）-\frac{1}{8}，x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
当-1＜x＜0时，由${4}^{x}+\frac{3}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}$，
则${4}^{x}+\frac{1}{2}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）$，由选项验证解得x=$-\frac{1}{2}$，
即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为-1＜x＜$-\frac{1}{2}$，
∵函数g（x）关于x=-1对称，
∴不等式式f（x）＜g（x）的解为-1＜x＜$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$＜x＜-1，
即不等式的解集为（$-\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，$-\frac{1}{2}$），
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数的周期性的求解，以及不等式的应用，利用函数与方程之间的关系，结合数形结合是解决本题的关键．本题综合性较强，运算量较大，难度较大．