Question

13．设f^-1（x）为f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$，x∈（0，π]的反函数，则y=f（x）+f^-1（x）的最大值为$\frac{5π}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（x）是（0，π]上的单调增函数，且f（x）与f^-1（x）单调性相同，
得出y=f（x）+f^-1（x）的定义域是（a，$\frac{π}{2}$]，
计算y=f（x）+f^-1（x）的最大值为f（$\frac{π}{2}$）+f^-1（$\frac{π}{2}$）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$在x∈（0，π]上单调递增，
且f^-1（x）为f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$在x∈（0，π]的反函数，
又f（x）与f^-1（x）的单调性相同，
∴当x=π时，f（x）的最大值是f（π）=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$cosπ+$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{2}$；
且当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=$\frac{π}{8}$-$\frac{π}{8}$cos$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{4}$，
∴y=f（x）+f^-1（x）的定义域是（a，$\frac{π}{2}$]，
且x=$\frac{π}{2}$时，f^-1（$\frac{π}{2}$）=π；
∴y=f（x）+f^-1（x）的最大值为
f（$\frac{π}{2}$）+f^-1（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{4}$+π=$\frac{5π}{4}$．
故答案为：$\frac{5π}{4}$．

点评 本题考查了互为反函数的两个函数单调性相同的应用问题，是基础题目．