Question

2．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）若函数f（x）有两个不相等的正零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x∈[-5，5]上的最小值为-3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．
（2）利用二次函数的闭区间上的最值，列出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2ax+2．恒过（0，2），函数f（x）有两个不相等的正零点，
可得$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\-a＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-8＞0}\\{-a＞0}\end{array}\right.$，所以a＜-$\sqrt{2}$．
（2）函数f（x）=x²+2ax+2，的对称轴为：x=-a，-a＜-5时，f（-5）是函数的最小值：27-10a；
-a∈[-5，5]时，f（-a）是最小值：2-a²；当-a＞5时，f（5）是函数的最小值：27+10a，
因为在x∈[-5，5]上的最小值为-3，
$f{\;}_{min}（x）=\left\{\begin{array}{l}27-10a（{a＞5}）\\ 2-{a^2}（{-5≤a≤5}）\\ 27+10a（{a＜-5}）\end{array}\right.$，
当a＞5时，27-10a=-3，解得a=3舍去；
当a＜-5时，27+10a=-3，解得a=-3舍去．
当$\left\{\begin{array}{l}2-{a^2}=-3\\-5≤a≤5\end{array}\right.$时有解，$a=±\sqrt{5}$．
所求a为：$±\sqrt{5}$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．