Question

7．如图，在多面体ABCDE中，平面ABE⊥平面ABCD，△ABE是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=2，M是EC的中点．
（1）求证：DM∥平面ABE；
（2）求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）方法一：取BE的中点O，连接OA、OM，说明OM=$\frac{1}{2}$BC，利用AD=$\frac{1}{2}$BC，推出OM=AD，证明DM∥AO，然后证明DM∥平面ABE；
方法二：取BC的中点N，连接DN、MN，证明MN∥BE，然后证明MN∥平面ABE，DN∥平面ABE，证明平面DMN∥平面ABE，即可证明DM∥平面ABE．
（II）方法一：接（1）的方法一，证明AB⊥BC，推出BC⊥底面ABE，得到BC⊥AO，结合BE⊥AO，证明AO⊥平面BCE，推出DM⊥平面BCE，然后求解几何体的体积．
方法二：取AB的中点G，连接EG，说明EG⊥AB，说明EG为四棱锥P-ABCD的高，计算三棱锥M-BDE的体积即计算三棱锥E-BDC体积减去三棱锥M-BDC的体积，求解即可．

解答 （满分12分）
证明：（I）方法一：取BE的中点O，
连接OA、OM，…（1分）
因为O、M分别为线段BE、CE的中点，
所以OM=$\frac{1}{2}$BC  …（2分）
又因为AD=$\frac{1}{2}$BC，所以OM=AD …（3分）
所以四边形OMDA为平行四边形，
所以DM∥AO，…（4分）
又因为AO?面ABE，MD?面ABE，所以DM∥平面ABE； …（6分）
方法二：取BC的中点N，连接DN、MN，…（1分）
因为M、N分别为线段CE、BC的中点，所以MN∥BE…（2分）
又因为BM?面ABE，MN?面ABE，所以MN∥平面ABE，…（3分）
同理可证DN∥平面ABE，…（4分）
MN∩DN=N，所以平面DMN∥平面ABE，…（5分）
又因为DM?面DMN，所以DM∥平面ABE…（6分）
（II）方法一：接（1）的方法一
因为平面ABE∩底面ABCD=AB
又因为平面ABE⊥底面ABCD，AB⊥BC
且BC?平面ABCD，
所以BC⊥底面ABE，…（7分）
OA?平面ABE，所以BC⊥AO…（8分）
又BE⊥AO，BC∩BE=B，
所以AO⊥平面BCE…（9分）
由（1）知DM=AO=$\sqrt{3}$，DM∥AO，
所以DM⊥平面BCE …（10分）
${V}_{M-BDE}={V}_{D-MBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）
方法二：取AB的中点G，连接EG，
因为△ABE是等边三角形，所以EG⊥AB…（7分）
又因为平面ABE∩底面ABCD=AB
又因为平面ABE⊥底面ABCD，且EG?平面PAB，
所以EG⊥底面ABCD，即EG为四棱锥P-ABCD的高…（8分）
因为M是EC的中点，所以M-BCD的体积是E-BCD体积的一半，
所以计算三棱锥M-BDE的体积即计算三棱锥E-BDC体积减去三棱锥M-BDC的体积…（10分）
所以${V}_{M-BDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即三棱锥M-BDE的体积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行以及垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．