Question

19．过点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）作圆x²+y²=1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，l与抛物线E交于A、B两点，则AB中点到抛物线E的准线的距离为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出切线方程，求出抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果．

解答 解：过点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）作圆x²+y²=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，
切线方程为：y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得x-y-$\sqrt{2}$=0，直线与x轴的交点坐标（$\sqrt{2}$，0），
可得抛物线方程为：y²=4$\sqrt{2}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4\sqrt{2}x}\\{y=x-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，可得x²-6$\sqrt{2}x$+2=0，l与抛物线E交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
可得：x₁+x₂=6$\sqrt{2}$，
则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．