Question

4．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若圆N：x²+y²=r²的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P、Q两点，OP与OQ能否垂直？若能垂直，请求出相应的r的值，若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求出a，b，然后求解椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，利用直线l与圆：x²+y²=1相切，推出m²=r²（k²+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
通过判别式△＞0，得r²＜4，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理通过$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，求出r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，满足r²＜4，说明OP与OQ能垂直．

解答 解：（1）依题意椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2，则b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，
∵直线l与圆：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r，即m²=r²（k²+1）…①…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=64k²-16m²+16＞0
所以m²＜4k²+1可得r²＜4
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，…（8分）${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$
若OP与OQ能垂直，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，…（9分）
∴$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，…（
整理得5m²-4（k²+1）=0，…（11分）
把①代入得（k²+1）（5r²-4）=0，
∴r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，满足r²＜4
OP与OQ能垂直．…（12分）

点评 本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想等．