Question

11．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，|F₁F₂|=6，P是E右支上一点，PF₁与y轴交于点A，△PAF₂的内切圆在边AF₂上的切点为Q，若|AQ|=$\sqrt{3}$，则E的离心率是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设△PAF₂的内切圆在边PF₂上的切点为M，在AP上的切点为N，
则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=$\sqrt{3}$，|QF₂|=|MF₂|，
由双曲线的对称性可得|AF₁|=|AF₂|=|AQ|+|QF₂|=$\sqrt{3}$+|QF₂|，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=|PA|+|AF₁|-|PM|-|MF₂|
=$\sqrt{3}$+|QF₂|+|AN|+|NP|-|PM|-|MF₂|
=2$\sqrt{3}$=2a，解得a=$\sqrt{3}$，
又|F₁F₂|=6，即有c=3，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．