Question

17．定义在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的函数f（x），满足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，且当$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$时，f（x）=lnx，若函数g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{lnπ}{π}，0}]$
• B． [-πlnπ，0]
• C． $[{-\frac{1}{e}，\frac{lnπ}{π}}]$
• D． $[{-\frac{e}{2}，-\frac{1}{π}}]$

Answer 1

分析 由题意，找出x∈（1，π]的解析式，画出f（x）定义在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的图形，利用直线y=ax与f（x）的交点个数得到a的范围．

解答 解：因为当$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$时，f（x）=lnx，
所以x∈（1，π]时，$\frac{1}{x}∈[\frac{1}{π}，1]$，所以f（$\frac{1}{x}$）=-lnx，此时$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，故f（x）=-lnx，x∈（1，π]．
所以f（x）在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的图象如图，要使函数g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零点，只要直线y=ax与f（x）的图象有交点，
由图象可得，k_OA≤a≤0，其中${k}_{OA}=\frac{ln\frac{1}{π}}{\frac{1}{π}}=-πlnπ$，
所以使函数g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零点，则实数a的取值范围是[-πlnπ，0]．
故选：B．

点评 本题考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，关键是将零点个数转化为函数图象的交点个数解答．