Question

8．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，BD∩AC=O，现将其沿菱形对角线BD折起得空间四边形EBCD，使EC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：EO⊥CD．
（Ⅱ）求点O到平面EDC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：EO⊥平面BCD，即可证明EO⊥CD．
（Ⅱ）利用等体积方法，求点O到平面EDC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：由题意，EO=OC=1，EC=$\sqrt{2}$，
∴EO²+OC²=EC²，∴EO⊥OC，
∵EO⊥BD，OC∩BD=O，
∴EO⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴EO⊥CD．
（Ⅱ）解：△EDC中，ED=DC=2，EC=$\sqrt{2}$，S_△EDC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
设点O到平面EDC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{1}{3}×\sqrt{7}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法求点到平面的距离，属于中档题．