Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-x；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）要求x＜0时的函数解析式，先设x＜0，则-x＞0，-x就满足函数解析式f（x）=x²-x，用-x代替x，可得，x＜0时，f（-x）的表达式，再根据函数的奇偶性，求出此时的f（x）即可．
（2）分类讨论，即可求不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x²-x，∴f（-x）=x²+x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x²-x，
∴当x＜0时，f（x）=-x²-x，
综上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{-{x}^{2}-x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当x≥0时，f（x）=x²-x＜0，∴0＜x＜1；
当x＜0时，f（x）=-x²-x＜0，∴x＜-1或x＞0，∴x＜-1，
综上所述，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}．

点评 本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，关键是先求x＜0时f（-x）的表达式，再根据奇偶性求f（x）．