Question

9．若直线2ax-by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根据圆的性质，得圆心在直线2ax-by+2=0上，解得b=1-a，代入式子a•b并利用二次函数的图象与性质，即可算出a•b的取值范围．

解答 解：∵直线2ax-by+2=0（a、b∈R）始终平分x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
∴圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0上，可得-2a-2b+2=0
解得b=1-a
∴a•b=a（1-a）=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，当且仅当a=$\frac{1}{2}$时等号成立
因此a•b的取值范围为（-∞，$\frac{1}{4}$]．
故答案为（-∞，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题给出直线始终平分圆，求ab的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．