Question

1．底面为菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁的中点，
（1）在图中作一个平面α，使得BD?α，且平面AEF∥α（不必给出证明过程，只要求做出α与直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面）
（2）若AB=AA₁=2，∠BAD=60°，求点C到所作截面α的距离．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁的中点G，D₁C₁的中点H，连结BG，GH，DH，则平面BDHG就是所求的平面α．
（2）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到所作截面α的距离．

解答 解：（1）取B₁C₁的中点G，D₁C₁的中点H，连结BG，GH，DH，
则平面BDHG就是所求的平面α，α与直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面即为平面BDHG．
（2）取BC中点M，∵AB=AA₁=2，∠BAD=60°，
∴以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），
G（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DG}$=（0，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面BDG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DG}=\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，-2，$\sqrt{3}$），
∴点C到所作截面α的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题主要考查满足条件的平面的作法，考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．