Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$若f[f（x₀）]=1，则x₀=-1或1．

Answer 1

分析 当x₀≤0时，$f（{x}_{0}）={2}^{-{x}_{0}}-1$，由f（x₀）=${2}^{-{x}_{0}}-1＜0$，得f[f（x₀）]=f（${2}^{-{x}_{0}}$-1）=${2}^{-{2}^{-{x}_{0}}-1}-1=1$，无解，由$f（{x}_{0}）={2}^{-{x}_{0}}-1$＞0，解得x₀=-1；当x₀＞0时，f（x₀）=$\sqrt{{x}_{0}}$＞0，由f（f（x₀））=f（$\sqrt{{x}_{0}}$）=$\sqrt{\sqrt{{x}_{0}}}$=1，解得x₀=1．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$，f[f（x₀）]=1，
∴当x₀≤0时，$f（{x}_{0}）={2}^{-{x}_{0}}-1$，
当f（x₀）=${2}^{-{x}_{0}}-1＜0$时，f[f（x₀）]=f（${2}^{-{x}_{0}}$-1）=${2}^{-{2}^{-{x}_{0}}-1}-1=1$，无解，
当$f（{x}_{0}）={2}^{-{x}_{0}}-1$＞0时，$\sqrt{{2}^{-{x}_{0}}-1}$=1，解得x₀=-1，成立；
当x₀＞0时，f（x₀）=$\sqrt{{x}_{0}}$＞0，∴f（f（x₀））=f（$\sqrt{{x}_{0}}$）=$\sqrt{\sqrt{{x}_{0}}}$=1，解得x₀=1，成立．
综上，x₀的值为-1或1．
故答案为：-1或1．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．