Question

5．已知集合A=$\left\{{y\left|{y={x^2}}\right.}\right.-\frac{3}{2}x+1，\frac{3}{4}≤x≤\left.2\right\}，B=\left\{{\left.{x\left|{x+{m^2}≥1}\right.}\right\}}$，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质求出A的范围，化简集合B，根据A⊆B，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：化简集合$A=\left\{{y\left|{y={x^2}}\right.}\right.-\frac{3}{2}x+1，\frac{3}{4}≤x≤\left.2\right\}$，
配方，得$y={（x-\frac{3}{4}）^2}+\frac{7}{16}$．因为$x∈[{\frac{7}{16}，2}]$，
∴${y_{min}}=\frac{7}{16}，{y_{max}}=2∴y∈[{\frac{7}{16}，2}]∴A=\left\{{y|\left.{\frac{7}{16}≤y≤2}\right\}}\right.$，
化简集合B，由x+m²≥1，得x≥1-m²，B={x|x≥1-m²}，
因为命p题是命题q的充分条件，
∴$A⊆B∴1-{m^2}≤\frac{7}{16}$解得$m≥\frac{3}{4}$或$m≤-\frac{3}{4}$，
故实数的取值范围是$（{-∞，\left.{-\frac{3}{4}}]}\right.∪[{\frac{3}{4}}\right.，+\left.∞）$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系，是一道基础题．