Question

14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A-B=$\frac{π}{6}$
（1）求边c的长；
（2）求角B的大小．

Answer 1

分析 （1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a²+c²-b²=6c，b²+c²-a²=2c．相加即可得出c．
（2）由（1）可得：a²-b²=8．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{4}{sinC}$，又A-B=$\frac{π}{6}$，可得A=B+$\frac{π}{6}$，C=$π-（2B+\frac{π}{6}）$，可得sinC=sin$（2B+\frac{π}{6}）$．代入可得$16si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）$-16sin²B=$8si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，化简即可得出．

解答 解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=3，b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=1，
化为：a²+c²-b²=6c，b²+c²-a²=2c．
相加可得：2c²=8c，解得c=4．
另解：∵在△ABC中，A+B+C=π，则sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
由正弦定理得，c=acosB+bcosA=3+1=4．
（2）由（1）可得：a²-b²=8．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{4}{sinC}$，
又A-B=$\frac{π}{6}$，∴A=B+$\frac{π}{6}$，C=π-（A+B）=$π-（2B+\frac{π}{6}）$，可得sinC=sin$（2B+\frac{π}{6}）$．
∴a=$\frac{4sin（B+\frac{π}{6}）}{sin（2B+\frac{π}{6}）}$，b=$\frac{4sinB}{sin（2B+\frac{π}{6}）}$．
∴$16si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）$-16sin²B=$8si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴1-$cos（2B+\frac{π}{3}）$-（1-cos2B）=$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，即cos2B-$cos（2B+\frac{π}{3}）$=$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴-2$sin（2B+\frac{π}{6}）$$sin（-\frac{π}{6}）$═$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴$sin（2B+\frac{π}{6}）$=0或$sin（2B+\frac{π}{6}）$=1，B∈$（0，\frac{5π}{12}）$．
解得：B=$\frac{π}{6}$．
另解：由正弦定理得$\frac{acosB}{bcosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$=$\frac{tanA}{tanB}$=3，
又tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAatnB}$=$\frac{2tanB}{1+ta{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B∈（0，π），B=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．