Question

2．已知两个函数f₁（x）=ln（|x-a|+2），f₂（x）=ln（|x-2a+1|+1），a∈R．
（1）若a=0，求使得f₁（x）=f₂（x）的x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₁（x）-f₂（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数F（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$-$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$的值域．

Answer 1

分析 （1）若a=0，则f₁（x）=ln（|x|+2），f₂（x）=ln（|x+1|+1），从而可得|x|+2=|x+1|+1，从而解得；
（2）化简恒成立为|x-a|+1≥|x-2a+1|对于任意的实数x∈R恒成立，即|x-a|-|x-2a+1|≥-1对于任意的实数x∈R恒成立，从而解得；
（3）化简可得F（x）=min{f₁（x），f₂（x）}，从而分别求值域，从而解得．

解答 解：（1）若a=0，则f₁（x）=ln（|x|+2），f₂（x）=ln（|x+1|+1），
∴ln（|x|+2）=ln（|x+1|+1），
∴|x|+2=|x+1|+1，
∴x≥0；
（2）∵|f₁（x）-f₂（x）|=f₁（x）-f₂（x）对于任意的实数x∈R恒成立，
∴f₁（x）-f₂（x）≥0对于任意的实数x∈R恒成立，
∴ln（|x-a|+2）-ln（|x-2a+1|+1）≥0对于任意的实数x∈R恒成立，
∴|x-a|+2≥|x-2a+1|+1对于任意的实数x∈R恒成立，
∴|x-a|+1≥|x-2a+1|对于任意的实数x∈R恒成立，
即|x-a|-|x-2a+1|≥-1对于任意的实数x∈R恒成立，
由绝对值的几何意义可知，
-|-a+1|≥-1，即|1-a|≤1，
即0≤a≤2；
（3）∵当f₁（x）≥f₂（x）时，
F（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$-$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$=f₂（x），
当f₁（x）＜f₂（x）时，
F（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$-$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$=f₁（x），
故F（x）=min{f₁（x），f₂（x）}，
而f₁（x）=ln（|x-a|+2）的值域为[ln2，+∞），
f₂（x）=ln（|x-2a+1|+1）的值域为[0，+∞）；
故函数F（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$-$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$的值域为[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了绝对值不等式的解法与应用．