Question

11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
提示：线性回归方程y=a+bx，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，利用配回归直线方程，对数据预处理，求出预处理后的回归直线方程，从而求出对应的回归直线方程；
（II）利用所求的回归直线方程，计算2012年的粮食需求量即可．

解答 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，
下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份-2006	-4	-2	0	2	4
需求量-257	-21	-11	0	19	29

对预处理后的数据，容易算得
$\overline{x}$=0，$\overline{y}$=3.2，
b=$\frac{（-4）×（-21）+（-2）×（-11）+2×19+4×29}{{（-4）}^{2}{+（-2）}^{2}{+0}^{2}{+2}^{2}{+4}^{2}}$=$\frac{260}{40}$=6.5，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.2；
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
$\stackrel{∧}{y}$-257=b（x-2006）+a=6.5（x-2006）+3.2，
即$\stackrel{∧}{y}$=6.5（x-2006）+260.2；①
（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6.5（2012-2006）+260.2=6.5×6+260.2=299.2（万吨）≈300（万吨）．

点评 本题考查了求线性回归方程以及利用回归直线方程预测结果的应用问题，是基础题目．