Question

1．某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率．
（Ⅱ） 先根据频率分布直方图，和平均数的定义即可求出．
（Ⅲ）先求出成绩是80分以上的人数，再分别求得成绩落在区间[80，90）、[90，100]上的人数，即可求得其中恰有1人的分数不低于90分．

解答 解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3．…（2分）
（Ⅱ）平均分为：$\overline x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71$（分）．  …（4分）
（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15（人）；…（5分）[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3（人）；…（6分）
因为用分层抽样的方法在8（0分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．                 …（8分）
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分），
则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）为”事件A，…（9分）
则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），
（C，M），（D，M），（E，M）共15种．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种…（11分）
所以恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为$P（A）=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$． …（12分）

点评 本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于中档题．