Question

16．如图，已知Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，求∠MPN．（要求用向量求解）．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}$，求出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}$的夹角即为∠MPN．

解答 解：∵OA=3，OB=2，OM=ON=1，则$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{O{B}^{2}+O{N}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
又∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，
∵∠AOB=90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{OA}}^{2}$=-5，
设$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{BN}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{-5}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{3π}{4}$，
又∵∠MPN即为向量$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{BN}$的夹角，
∴∠MPN=$\frac{3π}{4}$．

点评 问题考查了平面向量在几何中的应用，属于基础题．