Question

11．在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10且5a₃•a₁=（2a₂+2）²．
（1）求d，a_n．
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得d的方程，解方程可得通项公式；
（2）易得数列的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，当n≤11时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n；当n≥12时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…a₁₁-a₁₂-a_n=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+…a₁₁），分别由等差数列的求和公式可得．

解答 解：（1）∵在公差为d的等差数列{a_n}中a₁=10且5a₃•a₁=（2a₂+2）²，
∴5（10+2d）•10=4（11+d）²，整理可得d²-3d-4=0，解得d=4或d=-1，
当d=4时，a_n=10+4（n-1）=4n+6；
当d=-1时，a_n=10-（n-1）=-n+11；
（2）由（1）可得d＜0时，a_n=-n+11，
∴数列的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，
∴当n≤11时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{（10-n+11）n}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{21}{2}$n；
当n≥12时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…a₁₁-a₁₂-a_n
=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+…a₁₁）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+2（-$\frac{1}{2}$×11²+$\frac{21}{2}$×11）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+110

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．