Question

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若$\overrightarrow{m}$=（cos²$\frac{A}{2}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos²（B+C），1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（I）求角A；
（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足$\sqrt{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4S}$时，求边c的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由向量平行列出方程解出cosA；
（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．∴cos²$\frac{A}{2}$-cos²（B+C）=0，即$\frac{1}{2}$（1+cosA）-cos²A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=-$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（II）∵$\sqrt{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4S}$，∴a²+b²-c²=4$\sqrt{3}$S=2$\sqrt{3}$absinC．
又∵a²+b²-c²=2abcosC，∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴C=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴c=$\frac{asinC}{sinA}$=2$\sqrt{3}$．
sinB=sin（A+C）=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量平行的条件，用正余弦定理解三角形．