Question

14．已知关于x的不等式|2x-1|-|x+1|≤log₂a（其中a＞0）．
（I）当a=16时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=16时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）若不等式解集为空集，则log₂a＜|2x-1|-|x+1|的最小值，利用单调性求得|2x-1|-|x+1|的最小值，可得a的范围．

解答 解：（I）当a=16时，根据关于x的不等式|2x-1|-|x+1|≤log₂16=4（其中a＞0），
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x-（-x-1）≤4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-（x+1）≤4}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）≤4}\end{array}\right.$③．
解①求得-2≤x＜-1，解②求得-1≤x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x≤6，
故原不等式的解集为{x|-2≤x≤6}．
（Ⅱ）若不等式解集为空集，则log₂a＜|2x-1|-|x+1|的最小值，
再根据当x=$\frac{1}{2}$时，|2x-1|-|x+1|取得最小值为-$\frac{3}{2}$，∴log₂a＜-$\frac{3}{2}$，
求得 0＜a＜$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故实数a的范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，利用单调性求函数的最小值，属于中档题．