Question

15．已知函数f（x）=（-x²+ax+b）（e^x-e），当x＞0时f（x）≤0，则实数a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 设g（x）=-x²+ax+b，h（x）=e^x-e，根据条件当x＞0时f（x）≤0，判断两个函数的符号关系得到g（x）必需过点（1，0）点，建立a，b的关系，根据一元二次函数根的关系进行求解即可．

解答 解：设g（x）=-x²+ax+b，h（x）=e^x-e，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）=0，
若当x＞0时f（x）≤0，则满足当x＞1时，g（x）＜0，
当0＜x＜1时，g（x）＞0，
即g（x）必需过点（1，0）点，则g（1）=-1+a+b=0，则b=1-a，
此时函数g（x）与h（x）满足如图所示：
此时g（x）=-x²+ax+1-a=-（x-1）[x-（a-1）]，
则满足函数g（x）的另外一个零点a-1≤0，
即a≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数转化为两个函数的符号相反，利用数形结合是解决本题的关键．