Question

12．如图：在四棱锥S-ABCD中，已知∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=a，AD=2a，求直线SD与AC所成的角的大小．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SD与AC所成的角的大小．

解答 解：∵在四棱锥S-ABCD中，已知∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=a，AD=2a
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
S（0，0，a），D（0，2a，0），A（0，0，0），C（a，a，0），
$\overrightarrow{SD}$=（0，2a，-a），$\overrightarrow{AC}$=（a，a，0），
设直线SD与AC所成的角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{SD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{|2{a}^{2}|}{\sqrt{5}a•\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴α=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线SD与AC所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．