Question

3．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在一个周期内的图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得在（0，π）上，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R）的图象有2个不同的交点，数形结合可得m的范围．

解答 解：（1）观察图象，得$A=2，T=（\frac{11π}{12}-\frac{π}{6}）×\frac{4}{3}=π$．∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵函数经过点$（\frac{π}{6}，2）$，∴$2sin（2×\frac{π}{6}+φ）=2$，即$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，又∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$．
∴函数的解析式为$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）∵0＜x＜π，∴f（x）=m的根的情况，相当于$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$与g（x）=m的交点个数情况，且0＜x＜π，
∴在同一坐标系中画出$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R）的图象．
由图象可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y=m（m∈R）与曲线有两个不同的交点，
即原方程有两个不同的实数根，∴m的取值范围为-2＜m＜1或1＜m＜2．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．方程根的存在性以及个数的判断，属于中档题．