Question

11．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且存在正数t，使对所有的正整数n，都有$\sqrt{t{S}_{n}}$=$\frac{t+{a}_{n}}{2}$成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）如果$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$＜t对一切n∈N^*恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，从而分类讨论求得a₁=t，a_n-a_n-1=2t；从而求其通项公式；（2）可化简S_n=tn²，从而可得$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$=$\frac{n\sqrt{t}}{（2n-1）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$，从而判断函数f（n）=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$的单调性及求极限，从而化为最值问题．

解答 解：（1）由$\sqrt{t{S}_{n}}$=$\frac{t+{a}_{n}}{2}$得，S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²；
当n=1时，S₁=$\frac{1}{4t}$（t+a₁）²；
解得，a₁=t；
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²-$\frac{1}{4t}$（t+a_n-1）得，
a_n-a_n-1=2t；
∴{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列，故a_n=（2n-1）t；
（2）将a_n=（2n-1）t代入S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²得，
S_n=tn²，
故$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$=$\frac{n\sqrt{t}}{（2n-1）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$，
易知f（n）=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$在N^*上是减函数，
而且$\underset{lim}{n→∞}$f（n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{2t}$，
故只需使$\frac{\sqrt{t}}{2t}$≤t，
故t≥$\frac{\root{3}{2}}{2}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及转化思想的应用，同时考查了函数的性质的判断与应用．