Question

2．设数列{a_n}满足：a₁=2，8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$（n∈N），数列c_n=$\frac{n（{b}_{n}-1）}{4}$，n∈N^*，记数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

分析 由b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$＞0（n∈N），可得b₁=3，${b}_{n}^{2}$=1+4a_n，代入8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），可得：2b_n+1=b_n+1，变形为：b_n+1-1=$\frac{1}{2}（{b}_{n}-1）$，利用等比数列的通项公式可得：b_n．可得c_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 证明：∵b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$＞0（n∈N），
∴b₁=3，${b}_{n}^{2}$=1+4a_n，
代入8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），
∴$8×\frac{{b}_{n+1}^{2}-1}{4}$=2×$\frac{{b}_{n}^{2}-1}{4}$+b_n-1，
化为$（2{b}_{n+1}）^{2}$=$（{b}_{n}+1）^{2}$，
可得：2b_n+1=b_n+1，
变形为：b_n+1-1=$\frac{1}{2}（{b}_{n}-1）$，
∴数列{b_n-1}是等比数列，首项为2，公比为$\frac{1}{2}$．
∴b_n-1=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^2-n．
∴数列c_n=$\frac{n（{b}_{n}-1）}{4}$=$\frac{n}{4}×{2}^{2-n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{c_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．